Question

5．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+3sin²x-$\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式和差角公式化简f（x），利用三角函数的周期公式计算周期；
（2）根据正弦函数的单调区间列出不等式解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$（1-cos2x）-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{3}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．