Question

9．棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3$\sqrt{2}$，则a等于（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．

解答 解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，
已知正四面体棱长为a
所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AC=$\frac{a}{2}$
所以CD=$\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
截面面积是：$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{2}}{2}a=3\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题．