Question

13．目前，在“互联网+”和“大数据”浪潮的推动下，在线教育平台如雨后春笋般蓬勃发展，与此同时好多学生家长和相关专家对在线教学也产生了质疑，主要原因就是在线上教学，学生是否能认真听讲，在这种情况下，我市教育主管部门在我市各中小学采用分层抽样的方式抽出15周岁以下和15周岁以上各200人进行调查研究，其中15周岁以下的能认真听讲的150人，不能做到认真听讲的50人，15周岁以上的170人能认真听讲，不能做到认真听讲的30人，根据以上数据完成下列各题：
（1）完成下列2×2列联表

	不认真听讲	能认真听讲	总计
15周岁以下
15周岁以上
总计

（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为能否认真听见与年龄有关？
（3）现用分层抽样的方法，从15周岁以下的人种抽取8人，在这8人中任取两人进行座谈，求抽到的人中至少有一人能认真听讲的概率．
参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，（n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根据所给数据，可得列联表；
（2）根据题中的数据计算：K²，与临界值比较，即可得出结论；
（3）利用列举法确定基本事件，即可求抽到的人中至少有一人能认真听讲的概率．

解答 解：（1）

	不认真听讲	能认真听讲	总计
15周岁以下	50	150	200
15周岁以上	30	170	200
总计	80	320	400

…（2分）
（2）根据题中的数据计算：K²=$\frac{400×（50×170-30×150）^{2}}{80×320×200×200}$=6.25…（5分）
因为6.25＞5.024所以有97.5%的把握认为能否认真听讲与年龄有关有关．…（7分）
（3）由题意可知，从15周岁以下抽8人，其中不能认真听讲的为6人，能认真听讲的为2人，设不能认真听讲的人a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，能认真听讲的人为b₁，b₂，
于是，在8人中任意抽取两人有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，a₅），（a₁，a₆），（a₂，a₃），（a₂，a₄），（a₂，a₅），（a₂，a₆），（a₃，a₄），（a₃，a₅），（a₃，a₆），（a₄，a₅），（a₄，a₆），（a₅，a₆），（b₁，a₁）（b₁，a₂），（b₁，a₃），（b₁，a₄），（b₁，a₅），（b₁，a₆），（b₂，a₁）（b₂，a₂），（b₂，a₃），（b₂，a₄），（b₂，a₅），（b₂，a₆），（b₁，b₂）共28种，至少有一人能认真听讲的情况有（b₁，a₁）（b₁，a₂），（b₁，a₃），（b₁，a₄），（b₁，a₅），（b₁，a₆），（b₂，a₁）（b₂，a₂），（b₂，a₃），（b₂，a₄），（b₂，a₅），（b₂，a₆），（b₁，b₂）共13种
于是，设事件A=“至少有一人认真听讲”
所以，P（A）=$\frac{13}{28}$…（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查分层抽样，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．