Question

1．已知函数f（x）=xe^x，其中e是自然对数的底数，若存在整数t使方程f（x）=x+2在[t，t+1]上有解，则满足条件的所有整数t的取值集合为{-3，1}．

Answer 1

分析 构造函数h（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，求导函数再确定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内的单调性，再由特殊的函数值确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根的区间，故可得t的值．

解答 解：方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等价于e^x-$\frac{2}{x}$-1=0，令h（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，
因为h′（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数t的所有值为{-3，1}．
故答案为：{-3，1}．

点评 本题考查了导数与函数的单调性关系，以及函数零点的问题，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数方法．