Question

15．已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|，若?x∈[1，2]，f（x）≤4，则实a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． [1，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 当x∈[1，2]时，f（x）≤4恒成立?|x-2a|≤5-2x恒成立，x∈[1，2]?2x-5≤2a-x≤5-2x恒成立，x∈[1，2]，?$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$-$\frac{x}{2}$恒成立，x∈[1，2]．进而可求范围．

解答 解：∵x∈[1，2]，
∴|2x-1|=2x-1，
由f（x）≤4，可得2x-1+|x-2a|≤4，即|x-2a|≤5-2x，
∵x∈[1，2]，
∴4-2x≥0．
∴当x∈[1，2]时，f（x）≤4恒成立?|x-2a|≤5-2x恒成立，x∈[1，2]．
?2x-5≤2a-x≤5-2x恒成立，x∈[1，2]，
?$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$-$\frac{x}{2}$恒成立，x∈[1，2]．
∴$\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 熟练掌握绝对值不等式的解法、等价转化思想等是解题的关键．