Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$．求过点P（2，4）的函数f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，设出切点坐标，得到过切点的切线方程，再把P点坐标代入求得切点横坐标，代入切线方程得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$，得f′（x）=x²，
设切点为（${x}_{0}，\frac{1}{3}{{x}_{0}}^{3}+\frac{4}{3}$），则f′（x₀）=${{x}_{0}}^{2}$，
∴过切点的切线方程为$y-\frac{1}{3}{{x}_{0}}^{3}-\frac{4}{3}={{x}_{0}}^{2}（x-{x}_{0}）$，
把P（2，4）代入得：$4-\frac{1}{3}{{x}_{0}}^{3}-\frac{4}{3}=2{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{3}$，
整理得：${{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+4=0$，即${{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{2}-4（{{x}_{0}}^{2}-1）=0$，
∴（x₀+1）$（{x}_{0}-2）^{2}=0$，解得：x₀=-1或x₀=2．
当x₀=-1时，切线方程为x-y+2=0；当x₀=2时，切线方程为4x-y-4=0．
∴切线方程为：x-y+2=0，4x-y-4=0．

点评 本题考查利用导数研究过某点的切线方程，关键是注意过某点和在某点处的区别，是中档题．