Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n；
（3）求证：$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{4}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$＜$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求得S_n=2ⁿ⁺²-4，再由n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，运用数列的求和方法：错位相减法，运用等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和；
（3）由$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n+2}-1}$＜$\frac{{2}^{n+1}-1}{2（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}$，运用不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上，
可得S_n=2ⁿ⁺²-4，
则a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-4-（2ⁿ⁺¹-4）=2ⁿ⁺¹，
而a₁=S₁=2³-4=4，上式也成立．
可得a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N*；
（2）b_n=a_n•log₂a_n=2ⁿ⁺¹•log₂2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
前n项的和T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
2T_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，
相减可得-T_n=2•2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²
=8+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n+1）•2ⁿ⁺²，
化简可得T_n=n•2ⁿ⁺²；
证明：（3）$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n+2}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2（{2}^{n+1}-\frac{1}{2}）}$＜$\frac{{2}^{n+1}-1}{2（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{4}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法，考查推理能力及运算能力，属于中档题．