Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧 上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.
（1）求证：∠CDF=∠EDF；
（2）求证：ABACDF=ADFCFB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；

（2）证明：由（I）得∠ADB=∠ABF，

∵∠BAD=∠FAB，

∴△BAD∽△FAB，

∴ = ，

∴AB2=ADAF，

∵AB=AC，

∴ABAC=ADAF，

∴ABACDF=ADAFDF，

根据割线定理DFAF=FCFB，

∴ABACDF=ADFCFB．

【解析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=ADAF，因为AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根据割线定理即可得到结论．