Question

11．已知圆O：x²+y²=5和定点A（4，3），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|
（1）求实数a、b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

Answer 1

分析 （1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P点的轨迹方程；
（2）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；
（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，即可求出半径最小的圆的方程．

解答 解　（1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
又|PQ|=|PA|，
所以|OP|²=|OQ|²+|PQ|²=5+|PA|²，
所以a²+b²=5+（a-4）²+（b-3）²，故4a+3b-15=0．
（2）由|PQ|²=|OP|²-5=a²+b²-5=$\frac{25}{9}$（a-$\frac{12}{5}$）²+4，
得|PQ|_min=4．
（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P₀，所以r=3-$\sqrt{5}$，
又l′：3x-4y=0，联立l：4x+3y-15=0得P₀（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$）．
所以所求圆的方程为（x-$\frac{12}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=（3-$\sqrt{5}$）²．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．