Question

3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=BB₁=1，B₁C=2．
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直三棱柱的定义便可得到AC⊥B₁B，再根据条件AC⊥AB便可得出AC⊥平面ABB₁A₁，从而由面面垂直的判定定理即可得出平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）可连接A₁B，设交AB₁于M，可得到A₁M⊥AB₁，从而由面面垂直的性质定理得到A₁M⊥平面B₁AC，这样∠A₁CM便是直线A₁C与平面B₁AC所成的角，根据条件便可求出A₁M和A₁C的长，由$sin∠{A}_{1}CM=\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}C}$即可得出直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

解答 解：（I）证明：由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC；
∴B₁B⊥AC；
又AB⊥AC，B₁B∩BA=B；
∴AC⊥平面ABB₁A₁，AC?平面B₁AC；
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（II）如图，连接A₁B交AB₁于M，连接CM；

∵AB=BB₁；
∴A₁B₁=AA₁；
∴A₁M⊥AB₁；
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A；
∴A₁M⊥平面B₁AC；
∴∠A₁CM为直线A₁C与平面B₁AC所成的角；
∵AB=BB₁=1，B₁C=2；
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$；
∴${A}_{1}C=\sqrt{3}，{A}_{1}M=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$sin∠{A}_{1}CM=\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}C}=\frac{\sqrt{6}}{6}$；
∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质及判定定理，面面垂直的判定定理及性质定理，以及直线和平面所成角的定义，直角三角形边的关系，正弦函数的定义．