Question

12．已知等差数列{a_n}的前5项的和为55，且a₆+a₇=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$，且数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{4}{2n•（2n+4）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和，再由不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由前5项的和为55，且a₆+a₇=36，
可得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d=55}\\{2{a}_{1}+11d=36}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=2，
则数列{a_n}的通项公式a_n=7+（n-1）×2=2n+5；
（2）证明：b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{4}{2n•（2n+4）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
可得数列{b_n}的前n项和：
S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
即有原不等式成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．