Question

17．已知g（x）=x²-2x-3，f（x）=ax+2．（a＞0）．
（1）若对于x∈[3，6]时，总存在x₀，使得f（x₀）=g（x₀），求a的取值范围；
（2）若g（x-b）=0在（-1，6）上恒有一个实数根．求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出两个函数的值域，由题意可得，f（x）在[3，6]上的值域是g（x）在[3，6]上的值域的子集求解；
（2）求出g（x-b），令f（x）=g（x-b），把g（x-b）=0在（-1，6）上恒有一个实数根，转化为f（-1）f（6）＜0求得答案．

解答 解：（1）由g（x）=x²-2x-3，x∈[3，6]，得g（x）∈[0，21]；
由f（x）=ax+2（a＞0），x∈[3，6]，得f（x）∈[3a+2，6a+2]，
∵对于x∈[3，6]时，总存在x₀，使得f（x₀）=g（x₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+2≥0}\\{6a+2≤21}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{1}{3}≤a≤\frac{19}{6}$，
∴0$＜a≤\frac{19}{6}$；
（2）g（x-b）=（x-b）²-2（x-b）-3=x²-（2b+2）x+b²+2b-3，
∵g（x-b）=0在（-1，6）上恒有一个实数根，
∴x²-（2b+2）x+b²+2b-3=0在（-1，6）上恒有一个实数根，
令f（x）=x²-（2b+2）x+b²+2b-3，
则f（-1）f（6）＜0，
即（b²-4）（b²-10b+35）＜0，
（b+2）（b-2）（b-5）（b-7）＜0，
解得：b∈（-2，2）∪（5，7）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了转化思想方法的应用，理解题意是解题的关键，属中档题．