Question

2．设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）已知函数f（x）=x²-x+1，x∈B，x=g（t）=log₂t，t∈C．
1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）
2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；
（2）设f（x）=log₂x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根据等值域变换的定义，分别进行推导判断即可．
（2）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t₁，t₂∈R使两个等号分别成立，求得m和n．

解答 解：1°f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，即函数f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），
①C=（1，+∞）时，g（t）∈（0，+∞），f（g（t））=（g（t））²-g（t）+1=（g（t）-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
即函数f（g（t））的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），即x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换
②B=R，C=（2，+∞）时，g（t）∈（1，+∞），f（g（t））=（g（t））²-g（t）+1=（g（t）-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞1′，
即函数f（g（t））的值域为（1，+∞），即x=g（t）不是函数y=f（x）的一个等值域变换，
故①是等值域变换，②不等值域变换
2°B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，13]，x=g（t）的值域是[log₂a，log₂b]
当f（x）=13时，x=-3或4，结合图象可知，若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，
则$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}a=-3}\\{\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}b≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}b=4}\\{-3＜lo{g}_{2}a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{\sqrt{2}≤b≤16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=16}\\{\frac{1}{8}＜a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
故若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，则a，b满足的条件是：
$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{\sqrt{2}≤b≤16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=16}\\{\frac{1}{8}＜a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
（2）f（x）=log₂x定义域为[2，8]，由y=log₂x，知1≤y≤3，
即f（x）=log₂x的值域为[1，3]，
因为x=g（t）是y=f（x）的一个等值域变换，且函数f（g（t））的定义域为R，
所以x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$，t∈R的值域为[2，8]，
则2≤$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$≤8，
∴2（t²+1）≤mt²-3t+n≤8（t²+1），
所以，恒有$\left\{\begin{array}{l}{（m-2）{t}^{2}-3t+n-2≥0}\\{（m-8）{t}^{2}-3t+n-8≤0}\end{array}\right.$，
且存在t₁，t₂∈R使两个等号分别成立，
于是$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜8}\\{{△}_{1}=9-4（m-2）（n-2）=0}\\{{△}_{2}=9-4（m-8）（n-8）=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{n=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{n=5+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了新定义的理解和运用，主要函数值域的问题，利用已知条件演绎推理的能力和运算能力．综合性较强，难度较大．