Question

8．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，判定直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）设出弦AB中点M，用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．

解答 （1）证明：∵直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，
∴直线l与圆C总有两个不同交点；…（4分）
（2）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
又因为|CM|²+|MP|²=|CP|²，
设M（x，y）（x≠1），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化简得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）…（7分）
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x²+y²-x-2y+1=0．…（9分）

点评 本题考查轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．