Question

4．已知关于x的不等式1nx-$\frac{a（x-1）}{2}$＜0（a∈R）在（1，+∞）上恒成立．
（1）记a的最小值为a′，求f（x）=a′x²+lnx在（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 设g（x）=1nx-$\frac{a（x-1）}{2}$，求出导数，讨论a≤0，a≥2，0＜a＜2，运用单调性可得a的最小值为2，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：设g（x）=1nx-$\frac{a（x-1）}{2}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2-ax}{2x}$，x＞1．
①若a≤0，则g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上递增，
即有g（x）＞g（1）=0，不满足题意；
②若a≥2，即$\frac{2}{a}$≤1，x∈（1，+∞）时，g（x）递减，
g（x）＜g（1）=0，合题意；
③若0＜a＜2，即$\frac{2}{a}$＞1，x∈（1，$\frac{2}{a}$）时，g（x）递增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递减，
g（x）＞g（1）=0，不合题意．
综上，a的最小值a'=2，f（x）=2x²+lnx，
f（x）的导数为f′（x）=4x+$\frac{1}{x}$，
即有f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为5，切点为（1，2），
则f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2=5（x-1），
即为y=5x-3．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数，判断单调性，同时考查导数的运用：求切线的方程，考查运算能力，属于中档题．