Question

19．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在点（1，f（1））处切线方程为y=2x-1
（I）求a的值
（Ⅱ）若-$\frac{1}{2}$≤k≤2，证明：当x＞1时，$f（x）＞k（{1-\frac{3}{x}}）+x-1$
（Ⅲ）若k＞2且k∈z，$f（x）＞k（{1-\frac{3}{x}}）+x-1$对任意实数x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（Ⅱ）运用分析法证明，即证lnx＞k（1-$\frac{3}{x}$）-1，即xlnx+x-k（x-3）＞0，x＞1．令g（x）=xlnx+x-k（x-3），求出导数，判断单调性，即可得证；
（Ⅲ）求得g（x）在x＞1时取得最小值g（e^k-2）=3k-e^k-2，由题意可得3k-e^k-2＞0（k＞2）恒成立，令h（x）=3x-e^x-2，求出导数，求得单调区间，可得最大值，计算h（2），h（2+ln3），h（4），h（5）的符号，即可得到所求k的最大值．

解答 解：（I）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
由题意可得切线的斜率为2，即f′（1）=2，
即有1+a=2，解得a=1；
（Ⅱ）证明：由题意可得要证当x＞1时，$f（x）＞k（{1-\frac{3}{x}}）+x-1$，
即证lnx＞k（1-$\frac{3}{x}$）-1，即xlnx+x-k（x-3）＞0，x＞1．
令g（x）=xlnx+x-k（x-3），g′（x）=2+lnx-k，
由-$\frac{1}{2}$≤k≤2，x＞1，可得2-k≥0，lnx＞0，即有g′（x）＞0，
则g（x）在x＞1递增，即有g（x）＞g（1）=1+2k≥0，
则当x＞1时，$f（x）＞k（{1-\frac{3}{x}}）+x-1$；
（Ⅲ）若k＞2，lnx+2-k＞0，可得x＞e^k-2；lnx+2-k＜0，可得1＜x＜e^k-2．
即有g（x）在（e^k-2，+∞）递增，在（1，e^k-2）递减，
可得g（x）在x＞1时取得最小值g（e^k-2）=3k-e^k-2，
由题意可得3k-e^k-2＞0（k＞2）恒成立，
令h（x）=3x-e^x-2，h′（x）=3-e^x-2，
可得x＞2+ln3，h′（x）＜0，h（x）递减；x＜2+ln3，h′（x）＞0，h（x）递增．
则h（x）在x=2+ln3处取得最大值，
由1＜ln3＜2，可得3＜2+ln3＜4，h（2）=6＞0，h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12-e²＞0，
h（5）=15-e³＜0，则k≤4，即有k的最大值为4．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明和不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．