Question

16．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a+e-2}{x}$（a＞0）．
（1）当a=2时，求出函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数求导，令导函数为0，得导函数的根，做表，通过导函数的正负确定原函数的增减．
（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
a=2时，f（x）=lnx+$\frac{e}{x}$
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，得x=e
①当0＜x＜e时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（0，e）上是单调递减的
②当e＜x时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（e，+∞）上是单调递增的
∴f（x）的递减区间是（0，e），单增区间是（e，+∞）．
（2）原式等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=xlnx+a+e-2-ax．
∵g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）=0，得x=e^a-1
①0＜x＜e^a-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
②e^a-1＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）的最小值为g（e^a-1）=（a-1）e^a-1+a+e-2-ae^a-1=a+e-2-e^a-1．
令t（x）=x+e-2-e^a-1．∵t′（x）=1-e^a-1．
令t′（x）=0．得x=1．且
③0＜x＜1时，t′（x）＞0，t（x）单调递增
④1＜x时，t′（x）＜0，t（x）单调递减
∴当a∈（0，1）时，g（x）的最小值t（a）＞t（0）=e-2-$\frac{1}{e}$=$\frac{e（e-2）-1}{e}$＞0．
当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e^a-1≥0=t（2）．
∴a∈[1，2]．
综上得：a∈（0，2]．

点评 本题主要考查函数求导来寻找单调区间及极值和最值．尤其是第二问需要对函数求导后再建立一个新的函数求导，这也是一个常见类型．