Question

12．已知函数f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：$f（m）+f（-\frac{1}{m}）≥4$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，求不等式即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3，再利用对值的意义求得它的解集．
（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得要证的结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3．
而|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|表示数轴上的x对应点到-2、-$\frac{1}{2}$对应点的距离之和，
而0和-3对应点到-$\frac{11}{4}$、$\frac{1}{4}$对应点的距离之和正好等于3，
故不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜-$\frac{11}{4}$，或 x＞$\frac{1}{4}$}．
（Ⅱ）证明：∵f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a||-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
=（|m+a|+|-$\frac{1}{m}$+a|）+（|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|）≥2（|m+$\frac{1}{m}$|）=2（|m|+|$\frac{1}{m}$|）≥4，
∴要证得结论成立．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．