Question

已知函数f（x）=3^x-b（2≤x≤4）的图象过点（2，1），则F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为________．

Answer 1

[2，5]
分析：由函数f（x）=3^x-b（2≤x≤4）的图象过点（2，1），可求得b值，从而得到f（x）的解析式，根据f（x）的值域可得f^-1（x）的定义域，进而可求得F（x）的定义域，F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=-（+2）=，由log₃x∈[0，1]，即可求得F（x）的值域．
解答：由函数f（x）=3^x-b（2≤x≤4）的图象过点（2，1），得3^2-b=1，解得b=2．
则f（x）=3^x-2，f^-1（x）=log₃x+2，
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=-（+2）=，
由2≤x≤4得，f（x）∈[1，9]．所以f^-1（x）的定义域为[1，9]，
由，解得1≤x≤3，
所以F（x）的定义域为[1，3]．
则log₃x∈[0，1]，1≤≤4，2≤F（x）≤5．
所以函数F（x）的值域为[2，5]．
故答案为：[2，5]．
点评：本题考查函数解析式的求解及函数的值域问题，考查学生分析解决问题的能力．