Question

2．已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点（其中点A在第四象限内）．
（1）若|MB|=4|AM|，求直线l的方程；
（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

Answer 1

分析 （1）解法一：直线l的方程为x=my+4，由题意可知y₂=-4y₁，将直线l方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得A和B点坐标，求得m的值，求得直线l的方程；
方法二：设直线l的方程为y=k（x-4），由题意可知y₂=-4y₁，将直线l方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得A和B点坐标，求得k的值，求得直线l的方程；
方程三：设直线l的方程为y=k（x-4），由x₂=20-4x₁，将直线l方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得A和B点坐标，求得k的值，求得直线l的方程；
（2）直线l：x=my+4，由O，P关于直线l：x=my+4对称，即可求得P点坐标，代入抛物线方程求得m的值，设椭圆方程，将直线方程代入椭圆方程，△≥0，求得λ的取值范围，求得a的取值范围，即可求得椭圆C₁的长轴长的最小值．

解答 解：（1）解法一：由题意得抛物线方程为y²=4x，…（1分）
设直线l的方程为x=my+4，…（2分）
令A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），其中y₁＜0．由丨MB丨=4丨AM丨，得y₂=-4y₁…（3分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=my+4\end{array}\right.$，可得y²-4my-16=0，$\left\{\begin{array}{l}{y_1}{y_2}=-16\\{y_2}=-4{y_1}\\{y_1}+{y_2}=4m\end{array}\right.$，
解得y₁=-2，y₂=8，…（4分）
∴$m=\frac{3}{2}$，…（5分）
∴直线l的方程为2x-3y-8=0…（6分）
解法二：由题意得抛物线方程为y²=4x…（1分）
设直线l的方程为y=k（x-4）…（2分）
令$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，其中y₁＜0．由|MB|=4|AM|，得y₂=-4y₁…（3分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$，可得ky²-4y-16k=0，$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}\\{y_2}=-4{y_1}\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$解得y₁=-2，y₂=8，…（4分）
∴$k=\frac{2}{3}$…（5分）
∴直线l的方程为2x-3y-8=0…（6分）
解法三：由题意得抛物线方程为y²=4x…（1分）
设直线l的方程为y=k（x-4）…（2分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞4＞x₁＞0，由|MB|=4|AM|，
得x₂=20-4x₁，k＞0…（3分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$可得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}+4}}{k^2}\\{x_2}=20-4{x_1}\\{x_1}{x_2}=16\end{array}\right.$
解得x₁=1，x₂=16，…（4分）
∴$k=\frac{2}{3}$．…（5分）
∴直线l的方程为2x-3y-8=0…（6分）
（2）设P（x₀，y₀），直线l：x=my+4，
∵点P在抛物线C₂上，
∴直线l的斜率存在，m≠0．…（7分）
O，P关于直线l：x=my+4对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{2}=m×\frac{y_0}{2}+4\\ \frac{1}{m}×\frac{y_0}{x_0}=-1\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{8}{{1+{m^2}}}\\{y_0}=\frac{-8m}{{1+{m^2}}}\end{array}\right.$…（8分）
故$P（\frac{8}{{1+{m^2}}}，\frac{-8m}{{1+{m^2}}}）$代入抛物线C₂：y²=4x，可得m₁=1，m₂=-1…（9分）
直线l的方程为x=y+4或x=-y+4…（10分）
设椭圆为$\frac{x^2}{λ}+\frac{y^2}{λ-1}=1$，（λ＞1）．
联立直线和椭圆，消去x整理得（2λ-1）y²±8（λ-1）y-λ²+17λ-16=0，
∵△≥0，
∴64（λ-1）²+4（2λ-1）（λ²-17λ+16）≥0．解得$λ≥\frac{17}{2}$…（11分）
则${a^2}≥\frac{17}{2}$，即$a≥\frac{{\sqrt{34}}}{2}$．
∴椭圆C₁的长轴长的最小值为$\sqrt{34}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与抛物线及椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查分析问题及解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．