Question

3．已知点P（x，y）满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{x+y≥1}\\{x-y≤1}\end{array}\right.$，点M（3，1），O为坐标原点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为11．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标运算得到目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{x+y≥1}\\{x-y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

∵M（3，1），∴z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=3x+y，化为y=-3x+z，
由图可知，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得A（3，2）．
∴z的最大值为3×3+2=11．
故答案为：11．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．