Question

8．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}是单调递增数列，且满足a₅≤6，S₃≥9，则a₆的取值范围是（3，7]．

Answer 1

分析 数列{a_n}是单调递增数列，可得d＞0．根据满足a₅≤6，S₃≥9，可得a₁+4d≤6，3a₁+3d≥9，即-a₁-d≤-3，0＜d≤1，a₂≥3．即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}是单调递增数列，∴d＞0．
∵满足a₅≤6，S₃≥9，∴a₁+4d≤6，3a₁+3d≥9，即-a₁-d≤-3，
相加可得3d≤3，即d≤1，又d＞0，∴0＜d≤1，
-a₁-d≤-3，∴a₁≥3-d，∴a₂≥3．
∴a₆=a₁+5d=$\frac{4}{3}$（a₁+4d）+$\frac{1}{3}$（-a₁-d）≤8-1=7，
a₆=a₂+4d＞3．
可得：a₆∈（3，7]．
故答案为：（3，7]．

点评 本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．