Question

13．已知函数f（x）=（x-a）e^-x，其中a为常数．
（1）判断f（x）在x=0处的切线是否经过一个定点，并说明理由；
（2）讨论f（x）在区间[-2，3]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，计算f′（0），f（0）的值，求出切线方程，从而求出直线过定点（1，1）；
（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由题意得f′（x）=$\frac{1+a-x}{{e}^{x}}$，f′（0）=1+a，f（0）=-a，
则在x=0处的切线方程是：y+a=（1+a）x，
即a（x-1）+x-y=0，故定点是（1，1）；
（2）由f′（x）=$\frac{1+a-x}{{e}^{x}}$，得f（x）在（-∞，1+a）上递增，在（1+a，+∞）递减，
因此，当1+a≥3即a≥2时，f（x）在[-2，3]递增，
当1+a≤-2即a≤-3时，f（x）在[-2，3]递减，
当-2＜1+a＜3即-3＜a＜2时，f（x）在[-2，1+a）递增，在（1+a，3]递减．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．