【题目】已知数列(其中第一项是
,接下来的
项是
,再接下来的
项是
,依此类推)的前
项和为
,下列判断:
①是
的第
项;②存在常数
,使得
恒成立;③
;④满足不等式
的正整数
的最小值是
.
其中正确的序号是( )
A.①③B.①④C.①③④D.②③④
【答案】B
【解析】
找出数列的规律:分母为
的项有
项,并将这些项排成杨辉三角形式的数阵,使得第
有
项,每项的分母均为
,并计算出每行各项之和
,并计算出数列
的前
项和
,结合这些规律来判断各题的正误。
由题意可知,数列的规律为:分母为
的项有
项,将数列
中的项排成杨辉三角数阵,且使得第
行每项的分母为
,该行有
项,如下所示:
对于命题①,位于数阵第
行最后一项,对应于数列
的项数为
,命题①正确;
对于命题②,数阵中第行各项之和为
,则
,
且数列的前
项之和为
,
当时,
,因此,不存在正数
,使得
,命题②错误;
对于命题③,易知第行最后一项位于数列
的项数为
,
第行最后一项位于数列
的项数为
,且
,
则位于数阵第
行第
项(即
),
所以,
,命题③错误;
由①知,,且
,
则恰好满足的项
位于第
行,假设位于第
项,
则有,可得出
,
由于,
,则
,
,
因此,满足的最小正整数
,命题④正确。
故选:B.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆
与
轴交于
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上的一个动点,且直线
与直线
分别交于
两点.是否存在点
使得以
为直径的圆经过点
?若存在,求出点
的横坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】设是椭圆
的四个顶点,菱形
的面积与其内切圆面积分别为
,
.椭圆
的内接
的重心(三条中线的交点)为坐标原点
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
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【题目】已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( )
A. B. 2
C. D.
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【题目】从某校高三的学生中随机抽取了100名学生,统计了某次数学模考考试成绩如表:
(1)请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据,并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩;
(2)从这100名学生中,采用分层抽样的方法已抽取了 20名同学参加“希望杯数学竞赛”,现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流,记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为,求
的分布列和数学期望.
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【题目】(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目,假设甲闯关成功的概率是,乙、丙两人同时闯关成功的概率是
,甲、丙两人同时闯关失败的概率是
,且三人各自能否闯关成功相互独立.
(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率;
(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数,求ξ的分布列和均值.
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