Question

7．不等式e^x≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的取值范围为[0，e]．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=e^x-kx≥0恒成立，即有f（x）_min≥0恒成立；
求f（x）的导数，判断f（x）的单调性，讨论k的取值，即可求出k的取值范围．

解答 解：不等式e^x≥kx对任意实数x恒成立，
即为f（x）=e^x-kx≥0恒成立，
即有f（x）_min≥0，
由f（x）的导数为f′（x）=e^x-k，
当k＜0，e^x＞0，可得f′（x）＞0恒成立，
f（x）单调递增，无最大、最小值，不满足条件；
当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以有x=lnk处取得最小值，且为k-klnk，
由k-klnk≥0，解得k≤e，∴0＜k≤e；
又k=0时，e^x≥0恒成立，
综上，k的取值范围是[0，e]．
故答案为：[0，e]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数求最值，也考查了转化思想，是中档题．