已知椭圆的离心率为.以原点为圆心.椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程,(2)若直线与椭圆相交于.两点.且.试判断的面积是否为定值?若为定值.求出定值,若不为定值.说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

（1）.（2）为定值.

解析试题分析：（1）由已知建立方程组，求得.
（2）设，由得
，根据，得.应用韦达定理得到

根据,,,
得到,从而有
，计算得到

试题解析：（1）由题意知，∴，即，
又，∴，
故椭圆的方程为.                       4分
（2）设，由得
，
，.
                      7分
8分
,,,
,

     12分
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，函数的单调性与最值.

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如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）试问：..，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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设椭圆C₁：的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．
（1）求线段PF的中点M的轨迹C₂的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C₁相交于点A、D，与曲线C₂顺次相交于点B、C，当时，求直线l的方程．

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(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点，求实数的取值范围；
(3)设(2)中直线与双曲线交于两个不同点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．

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如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

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如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．