如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
(1)
；(2)
；(3)
．
解析试题分析：(1)已知椭圆过两点，可把两点坐标代入方程列出关于
的方程组，然后把
分别作为整体，方程组就变为二元一次方程组，从而可很快解得；(2)关键是线段
的中点在直线
上，可设
，由线段中点为
，而直线的方程可求得
，代入可得
的一个方程，点
坐标代入椭圆方程又得另一方程，联立可解得点坐标
；(3)这类问题我们采取设而不求的方法，设
，
在直线上，则
，同理
，
，下面我们想办法把
用
表示出来，这可由
共线，
共线得到，这里要考查同学计算能力，只要计算正确，就能得出正确结论．
试题解析：（1）由已知，得
解得
2分
所以椭圆的标准方程为． 3分
（2）设点
，则中点为
．
由已知，求得直线的方程为
，从而
．①
又∵点在椭圆上，∴
．②
由①②，解得
（舍），
，从而
． 5分
所以点的坐标为． 6分
（3）设
，
，
．
∵
三点共线，∴
，整理，得
． 8分
∵
三点共线，∴
，整理，得
． 10分
∵点在椭圆上，∴
，
．
从而
． 14分
所以
． 15分
∴为定值，定值为． 16分
考点：(1)椭圆的标准方程；(2)中点问题；(3)定值问题．
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
与椭圆交于不同的两点
，
，是否存在直线，使得△
与△
的面积比值为
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
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我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
已知抛物线
上的点
到焦点的距离等于4，直线
与抛物线相交于不同的两点
、
，且
（
为定值）．设线段
的中点为
，与直线平行的抛物线的切点为
．.
（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用
、
表示出点、点的坐标，并证明
垂直于
轴；
（3）求
的面积，证明的面积与、无关，只与有关.
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如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点. 
（1）若直线PQ过定点
，求点A的坐标；
（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.
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巳知椭圆
的离心率是
.
⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程；
⑵若存在过点A(1,0)的直线
，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.
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已知椭圆
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若直线
与椭圆相交于
、
两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
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如图所示，已知
、
、
是长轴长为
的椭圆
上的三点，点是长轴的一个端点，
过椭圆中心
，且
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存点
，使得
？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点
，作圆
的两条线，切点分别为
、
，，若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
，证明：
为定值.
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已知椭圆
＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
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的中心在原点，右焦点为
，渐近线方程为 
.
：
与双曲线
、
两点，问：当
为何值时，以
为直径的圆过原点；