Question

如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．

（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值.

Answer 1

（1）；（2）存在，且有两个；（3）详见解析.

解析试题分析：（1）根据题中条件得到值，然后根据题中的几何条件得出点的坐标，代入椭圆方程求出值，从而确定椭圆的方程；（2）解法一是设点的坐标，利用两点间的距离公式将等式转化为点的坐标所满足的直线方程，注意到直线过椭圆内一定点，从而确定满足条件的点的个数；解法二是也是设点的坐标，利用两点间的距离公式将等式转化为点的坐标所满足的直线方程，再将直线方程与椭圆方程联立，利用的正负确定所满足条件的点的个数；（3）设点的坐标，先根据题中条件结合圆的几何性质得到，，从而得出、、、四点共圆，并写出圆（以的长为半径的圆）的方程，通过将点、的坐标代入圆的方程，将两个等式相减的办法得到直线的方程，进而求出、（由点的坐标表示），并将点的坐标由、表示，再将点的坐标代入椭圆的方程化简即可证明相关问题；解法二是设、、三点的坐标，利用圆的几何性质得到，先利用点斜式写出直线的方程，同时写出直线的方程，再将点代入上述两直线的方程，通过比较得出直线的方程，进而求出、（由点的坐标表示），并将点的坐标由、表示，再将点的坐标代入椭圆的方程化简即可证明相关问题.
试题解析：（1）依题意知：椭圆的长半轴长，则，
设椭圆的方程为，
由椭圆的对称性知 又，，
，，为等腰直角三角形，
点的坐标为，点的坐标为，
将的坐标代入椭圆方程得，
所求的椭圆的方程为；
（2）解法一：设在椭圆上存在点，使得，设，则
，
即点