Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x+1）f′（x）≥0，则有（　　）

A．f（0）+f（-2）＜2f（-1）

B．f（0）+f（-2）≤2f（-1）

C．f（0）+f（-2）＞2f（-1）

D．f（0）+f（-2）≥2f（-1）

Answer 1

分析：将不等式（x+1）f′（x）≥0进行分类讨论，可得函数y=f（x）在区间（-∞，-1）上是减函数，在区间（-1，+∞）上是增函数，从而得到f（0）＞f（-1）且f（-2）＞f（-1），相加即得正确答案．

解答：解：∵函数f（x）满足（x+1）f′（x）≥0，
∴当x＜-1时，f′（x）≤0，而x＞-1时，f′（x）≥0，
由此可得，函数y=f（x）在区间（-∞，-1）上是减函数，在区间（-1，+∞）上是增函数
∴f（-1）是函数的极小值，也是函数的最小值
可得f（0）＞f（-1）且f（-2）＞f（-1），相加得f（0）+f（-2）＞2f（-1），
特别地，当f′（x）=0时，f（x）为常函数，也符合题意
故有f（0）=f（-2）=f（-1），从而有f（0）+f（-2）=2f（-1）；
因此有f（0）+f（-2）≥2f（-1），
故选：D

点评：本题给出满足（x+1）f′（x）≥0的抽象函数f（x），要我们比较函数值的大小关系，着重考查了函数的单调性与导数符号的关系的知识点，属于基础题．