Question

13．函数y=x（x-1）（x-3）的图象为C，过原点O且斜率为t的直线为l，设C与l除原点O以外，还有另外两个交点P，Q（可以重合），记函数f（t）=|$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$|，写出f（t）的表达式并求其极值．

Answer 1

分析 由函数y和直线y=tx联立，求得三交点，再由数量积的坐标表示，可得函数f（t），再由导数求得单调区间，可得极值．

解答 解：由y=x（x-1）（x-3）和y=tx联立，
可得x=0和x²-4x+3-t=0，
由题意可得△≥0，即16-4（3-t）≥0，
解得t≥-1，
解得x=2±$\sqrt{1+t}$，
即有P（2+$\sqrt{1+t}$，t（2+$\sqrt{1+t}$）），
Q（2-$\sqrt{1+t}$，t（2-$\sqrt{1+t}$）），
则f（t）=|$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$|=（2$+\sqrt{1+t}$）（2-$\sqrt{1+t}$）+t²（2$+\sqrt{1+t}$）（2-$\sqrt{1+t}$）
=3-t+t²（3-t）=-t³+3t²-t+3（t≥-1），
f′（t）=-3t²+6t-1，
当1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜t＜1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，f′（t）＞0，f（t）递增；
当-1≤t＜1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或t＞1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，f′（t）＜0，f（t）递减．
即有x=1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$处取得极小值，且为4-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$；
x=1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$处取得极大值，且为4+$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．