Question

1．已知函数f（x）=log₂（4^x+1）-x，g（x）=log₂a+log₂（2^x-$\frac{4}{3}$）（a＞0，x＞1）．
（1）证明函数f（x）为偶函数；
（2）若函数f（x）-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解定义域，利用定义进行判断即可．
（2）函数f（x）-g（x）只有一个零点，即f（x）=g（x）只有一个零点，化简计算，转化成二次方程问题求解．

解答 解：（1）证明：f（x）的定义域是R，
f（-x）=log₂（4^-x+1）+x
=log₂$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$+x
=log₂（4^x+1）-log₂2^2x+x
=log₂（4^x+1）-2x+x
=f（x），
故f（x）在R是偶函数；
（2）由题意：函数f（x）-g（x）只有一个零点，即f（x）=g（x）只有一个零点，
可得：log₂（4^x+1）-x=log₂a+log₂（2^x-$\frac{4}{3}$）（a＞0）
整理得：$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}•（{2}^{x}-\frac{4}{3}）}=a$．
即：$（a{-1）4}^{x}-\frac{4a}{3}•{2}^{x}-1=0$
令2^x=t
∵x＞1，
∴t＞2
转化为f（t）=$（a-1）{t}^{2}-\frac{4a}{3}t-1$（t＞2）与x轴的交点问题．
当a-1=0，即a=1时，f（t）=$-\frac{4a}{3}t-1$
∵t＞2，∴f（t）恒小于0，与x轴没有交点．
当a-1＞0，即a＞1时，f（t）与x轴有一个交点，需那么f（2）＜0．
解得：$a＜\frac{15}{4}$，
所以：$1＜a＜\frac{15}{4}$．
当a-1＜0，即0＜a＜1时，f（t）与x轴有一个交点，需那么f（2）＞0，此时无解．
综上所得：函数f（x）-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围是（1，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了对数的运算和化简能力，转化思想，将零点问题转化为二次函数与x轴的交点问题．属于中档题．