Question

【题目】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为

【解析】

试题分析：（1）本题考查互斥事件的概率，设甲第i次投中获胜的事件为Ai （i＝1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥，分别计算出的概率（可用相互独立事件同时发生的概率公式计算），然后相加即得；

（2）甲的投篮次数X的取舍分别1，2，3，注意这里事件含甲第次投中和第次投不中而接着乙投中，结合（1）的过程可很快求和各事件概率，从而得分布列，并依据期望公式可计算出期望值．

试题解析：（1）设甲第i次投中获胜的事件为Ai（i＝1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥．

甲获胜的事件为A1＋A2＋A3．

P（A1）＝；

P（A2）＝；

P（A3）＝（）2×（）2×＝．

所以P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝．

答：甲获胜的概率为．

（2）X所有可能取的值为1，2，3．

则 P（X＝1）＝＋×＝；

P（X＝2）＝＋×××＝；

P（X＝3）＝（）2×（）2×1＝．

即X的概率分布列为

X	1	2	3
P

所以X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝．