Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$．
（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD
（2）试求三棱锥B-PQM的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得四边形BCDQ为平行四边形，得CD∥BQ．再由AD⊥CD，可得QB⊥AD．求解三角形可得PB²=PQ²+QB²，知PQ⊥QB，由线面垂直的判定可得BQ⊥平面PAD，则平面PAD⊥底面ABCD；
（2）由PA=PD，Q是AD的中点，得PQ⊥AD．结合面面垂直的性质可得PQ⊥平面ABCD．再由M是棱PC上的中点，得V_B-PQM=V_P-BQC-V_M-PQC=V_P-BQC-$\frac{1}{2}{V}_{P-BQC}=\frac{1}{2}{V}_{P-BQC}$，求出棱锥P-BQC得体积得答案．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，Q是AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵AD⊥CD，∴QB⊥AD．
又PA=PD=2，AD=2，Q是AD的中点，故PQ=$\sqrt{3}$，
又QB=CD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$．
∴PB²=PQ²+QB²，由勾股定理可知PQ⊥QB，
又PQ∩AD=Q，
∴BQ⊥平面PAD，
∴平面PAD⊥底面ABCD；
（2）解：∵PA=PD=2，Q是AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．又M是棱PC上的中点，
故V_B-PQM=V_P-BQC-V_M-PQC=V_P-BQC-$\frac{1}{2}{V}_{P-BQC}=\frac{1}{2}{V}_{P-BQC}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．