Question

11．在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1内有一点P（3，1），F为双曲线的右焦点，在双曲线上有一点M，使|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的值最小，则这个最小值为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 设过M作准线的垂线MN，垂足为N，欲求|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．

解答 解∵双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，
可得离心率e=$\frac{3}{2}$，
设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则$\frac{|MF|}{|MN|}$=$\frac{3}{2}$，
∴|MN|=$\frac{2}{3}$|MF|，
∴|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|=|MP|+|MN|，
当且仅当M，N，P三点共线时|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的值最小，这个最小值为3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题给出双曲线上的动点P和定点，求|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的最小值，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．