Question

19．已知F₁，F₂为双曲线C：x²-y²=2的左右焦点，点P在曲线C上，|PF₁|=3|PF₂|，则S${\;}_{△{F}_{1}{PF}_{2}}$=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，结合|PF₁|=3|PF₂|，利用余弦定理，求cos∠F₁PF₂的值，可得sin∠F₁PF₂，再利用面积公式，即可得出结论．

解答 解：将双曲线方程x²-y²=2化为标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，c=2，
设|PF₁|=3|PF₂|=3m，则根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a可得m=$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=3$\sqrt{2}$，|PF₂|=$\sqrt{2}$，
∵|F₁F₂|=2c=4，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{18+2-16}{2×3\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$
∴sin∠F₁PF₂=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S${\;}_{△{F}_{1}{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，三角形面积的计算，属于中档题．