Question

16．若函数f（x）=log₂（ax²+2x+1）在（$\frac{1}{2}$，1）上恒有f（x）＞1，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性可得ax²+2x+1＞2在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立，即只需令g（x）=ax²+2x+1在（$\frac{1}{2}$，1）上的最小值大于2即可．然后根据a的取值讨论g（x）的最小值．

解答 解：∵f（x）=log₂（ax²+2x+1）在（$\frac{1}{2}$，1）上恒有f（x）＞1，
∴ax²+2x+1＞2在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立．
令g（x）=ax²+2x+1，
（1）当a=0时，g（x）=2x+1在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函数，g_min（x）=g（$\frac{1}{2}$）=2，符合题意．排除B，C．
（2）当a＞0时，g（x）=ax²+2x+1，对称轴为x=$-\frac{1}{a}$，
∴g（x）=ax²+2x+1在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函数，
g_min（x）=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{4}+2$＞2，符合题意．排除D．
故选：A．

点评 本题考查了函数恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题．