Question

【题目】已知圆 ： 上的点 关于点 的对称点为 ，记 的轨迹为 .

（1）求 的轨迹方程；

（2）设过点 的直线 与 交于 ， 两点，试问：是否存在直线 ，使以 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） ： 和 ： .

【解析】试题分析：

(1)设的坐标为， 的坐标为，利用中点坐标公式可得，则的轨迹方程为.

(2)设， ，由题意， 的斜率均存在，则，

分类讨论：当直线的斜率不存在时，满足，

当直线的斜率存在时，联立直线方程与圆的方程有，结合韦达定理计算可得，则存在满足条件的直线： 和： .

试题解析：

（1）设 的坐标为 ， 的坐标为

则由中点坐标公式，得 ∴

将代入，得

即 的轨迹方程为 .

（2）设，

由题意，知 ,显然 ， 的斜率均存在，∴

∴，即

当直线的斜率不存在时，可得直线 的方程为，

则 ， ，满足，

∴直线 ： ，满足条件.

当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，代入

得 ，则 ，

由，得 ，即 ，

∴ ，解得 ，∴直线的方程为 .

综上可知，存在满足条件的直线 ： 和 ： .