Question

设O为△ABC所在平面上一点，动点P满足

OP

=

OB + OC

2

+λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），其中A，B，C为△ABC的三个内角，则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

• A、外心
• B、内心
• C、重心
• D、垂心

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：综合题,平面向量及应用

分析：建立适当的平面直角坐标系，设出点P的坐标，根据题意，求出点P满足的关系式，即可得出点P的轨迹是什么．

解答： 解：根据题意，

OP

=

OB + OC

2

+λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），
∴2

OP

=（

OB

+

OC

）+2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），
∴（

OP

-

OB

）+（

OP

-

OC

）=2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），
即

BP

+

CP

=2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）①；
以BC为x轴，过A点作y轴，建立平面直角坐标系，
设B（b，0），A（0，a），C（c，0），不放设b＜c，P（x，y）；如图所示：
则由①式得：

BP

+

CP

=（x-b+x-c，y+y）=（2x-b-c，2y），
2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）=2λ[

AB

AB • BC

×（-|

BC

|）+

AC

AC • BC

×（|

BC

|）]
=2λ[

(-b，a)

-b(c-b)

×（b-c）+

(-c，a)

-c(c-b)

×（c-b）]=2λ（0，

a

b

-

a

c

）；
∴2x-b-c=0，2y=2λ（

a

b

-

a

c

）；
∴x=

b+c

2

，y=λ（

a

b

-

a

c

）；
∵λ是任意实数，∴p为线段BC的中垂线上的点，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的外心．
故选：A．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求点的轨迹的问题，解题时应结合题意，画出图形，根据图形进行解答，是难题．