Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=3；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前k项和S_k=36，求k的值；
（3）证明：数列{a_n-1}也是等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，由题意和等差数列的通项公式求出d，再代入等差数列的通项公式化简即可；
（2）由（1）和等差数列的前n项和公式可得Sn=

n(1+n)

2

，列出关于k的方程再求出k的值；
（3）由（1）可得a_n-1=n-1，利用等差数列的定义证明数列{a_n-1}是等差数列．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，
因为a₁=1，a₃=3，所以d=

a3-a1

3-1

=1，
则a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）得，Sn=

n(1+n)

2

，
所以S_k=

k(1+k)

2

=36，解得k=9或k=-8（舍去），
则k的值是9；
证明：（3）由（1）可得，a_n-1=n-1，
所以（a_n+1-1）-（a_n-1）=a_n+1-a_n=d=1，
所以数列{a_n-1}是以1为公差的等差数列．

点评：本题考查等差数列的证明：定义法，以及等差数列的通项公式、前n项和公式，属于中档题．