Question

已知函数，其中
（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

解析试题分析：（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值，先函数的定义域，与极值有关，可通过求导解决．对求导，由题意可知，可求出的值；（Ⅱ）若对任意的都有成立，即在上的最小值大于或等于在上的最大值，从而转化为分别求函数，在的最小值、最大值，由它们的最值，从而确定出实数的取值范围．
试题解析：（I）解法1：∵h(x)=2x++lnx，其定义域为(0,+∞)， (1分)
∴h＇^{`</sup>(x)=2--         (3分)
∵x=1是函数h(x)的极值点，∴h＇(1)=0，即3-a<sup>2</sup>=0．∵a>0，∴a=．
经检验当a=时，x=1是函数h(x)的极值点，∴a=．       (5分)
解法2：∵h(x)=2x++lnx，其定义域为(0,+∞)，
∴h＇<sup>`}(x)=2--．  令h^{`</sup>(x)=0，即2--=0，整理，得2x<sup>2</sup>+x-a=0．
∵D=1+8a<sup>2</sup>>0，
∴h<sup>`}(x)=0的两个实根x₁=（舍去），x₂=，
当变化时，h(x),h^`(x)的变化情况如下表：

x	(0,x2)		(x2,+∞)
h`(x)	-	0	+
h(x)	↘	极小值	↗

依题意，=1，即a²=3，∵a>0，∴a=．
（Ⅱ）对任意的x₁,x₂∈[1,e]都有f(x₁)≥g(x₂)成立等价于对任意的x₁,x₂∈[1,e]都有[f(x)]_min≥[g(x)]_max
(6分)
当x∈[1,e]时，g^{`</sup>(x)=1+>0．
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数．∴[g(x)]<sub>max</sub>=g(e)=e+1．    (8分)
∵f＇<sup>`}(x)=1-=