Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，点P（a_n，S_n）在直线y=2x-2上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=2（1-

1

an

），数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n≥a²-2恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）把点的坐标代入直线方程得到数列递推式，进一步证得数列为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b_n=2（1-

1

an

），由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{b_n}的前n项和为T_n，代入T_n≥a²-2后分离变量a，得到a2≤2[n+(

1

2

)n]，由函数单调性求出2[n+(

1

2

)n]有最小值3，则a的最大值可求．

解答： 解：（1）依题意得S_n=2a_n-2，则n≥2时，
S_n-1=2a_n-1-2．
∴n≥2时，
S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1．
又n=1时，a₁=2，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2•2n-1=2ⁿ；
（2）∵b_n=2（1-

1

an

）=2(1-

1

2n

)=2-

1

2n-1

，
∴Tn=2n-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2（1-

1

2n

）=2n-2+2×(

1

2

)n．
由T_n≥a²-2恒成立，得2n-2+2×(

1

2

)n≥a²-2．
即a2≤2[n+(

1

2

)n]．
令g（n）=n+(

1

2

)n，
∵g′(n)=1-(

1

2

)nln2＞0，
∴g（n）=n+(

1

2

)n为增函数，
∴当n=1时，2[n+(

1

2

)n]有最小值3．
故a²≤3，解得-

3

≤a≤

3

．
∴a的最大值为

3

．

点评：本题考查等比关系的确定，考查了数列前n项和的求法，训练了分离变量法求解恒成立问题，属中档题．