Question

2．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l₁、l₂，点P在第一象限内且在l₁上，若PA⊥l₂，PB∥l₂，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（x，y），再由两直线垂直和平行的条件，得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到．

解答 解：依题意有A（-a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，
设P（x，y），则
由PB∥l₂得$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{b}{a}$，因为点P在直线y=$\frac{b}{a}$x上，于是解得P点坐标为P（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
因为PA⊥l₂，所以$\frac{y-0}{x-（-a）}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，即$\frac{b}{3a}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，所以b²=3a²，
因为a²+b²=c²，所以有c²=4a²，即c=2a，得e=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键．