Question

【题目】已知集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}，函数y=log2（ax2+2）的定义域为S
（1）若P∩S≠，求实数a的取值范围
（2）若方程log2（ax2+2）=2在 上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}={x| }，由已知Q={x|ax2+2＞0}，若P∩Q≠，

则说明在[ ，2]内至少有一个x值，使不等式ax2+2＞0，即，

在[ ，2]内至少有一个x值，使a＞﹣ 成立，﹣ 的最小值为：﹣8，

∴a的取值范围是a＞﹣8；

（2）解：∵方程log2（ax2+2）=2在 上内有解，

∴ax2+2=4即ax2﹣2=0在 内有解，分离a与x，得a= ∈ ．

即a的取值范围是： ．

【解析】（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立．