Question

已知两个正数x，y满足x+4y+5-xy=0，则xy取最小值时x=

 

，y=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：将方程变形x+4y=xy-5，再由基本不等式转化为关于xy的不等式，根据x和y范围进行求解，结合等号成立的条件和xy的最小值，求出此时x和y对应的值．

解答： 解：∵x+4y+5-xy=0，∴x+4y=xy-5①，
∵x，y是正数，∴x+4y≥4

xy

，当且仅当x=4y时等号成立，
代入①式得，xy-5≥4

xy

，即xy-4

xy

-5≥0，解得

xy

≥5或

xy

≤-1（舍去），
∴xy取最小值25，
∵x=4y，
∴解得x=10，y=2.5，
故答案为：10，2.5．

点评：本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式将方程转化为不等式，再进行求解，注意“一正、二定、三相等”的验证．