Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.

Answer 1

 (1) 由题意知b==.

因为离心率e==,

所以==.

所以a=2.

所以椭圆C的方程为+=1.

(2) 由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则

直线PM的方程为y=x+1　①,

直线QN的方程为y=x+2　②.

方法一　联立①②解得x=,y=,

即T.

由+=1,可得=8-4.

因为+=====1,

所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.

方法二　设T(x,y).

联立①②解得x0=,y0=.

因为+=1,所以+=1,

整理得+=(2y-3)2,

所以+-12y+8=4y2-12y+9,

即+=1.

所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.