Question

18．已知抛物线C：x²=y，圆C₂，半径为1，圆心P（0，t）t＞1，且t为常数，Q为y轴非负半轴上异于P的点，过Q作圆C₂切线，交抛物线于A、B两点．
（1）求抛物线焦点与准线方程；
（2）若M是Q点关于原点的对称点．
（i）当Q点与原点不重合时，判断直线MA、MB是否关于y轴对称；
（ii）若△MAB的面积为S，求$\frac{2S}{|MQ|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用抛物线的方程，可得抛物线焦点与准线方程；
（2）若M是Q点关于原点的对称点．
（i）证明k_MA=-k_MB，可得直线MA、MB关于y轴对称；
（ii）求出$\frac{2S}{|MQ|}$，即可求$\frac{2S}{|MQ|}$的最小值．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=y，
∴抛物线焦点为（0，$\frac{1}{4}$），准线方程为y=-$\frac{1}{4}$；
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+a，代入x²=y，可得x²-kx-a=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-a，
∴k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}+a}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+a}{{x}_{2}}$=2k+2a•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+2a•$\frac{k}{-a}$=0，
∴k_MA=-k_MB，
∴直线MA、MB关于y轴对称；
（ii）∵AB与圆相切，
∴$\frac{|a-t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k²=（a-t）²-1，
$\frac{2S}{|MQ|}$=$\frac{2×\frac{1}{2}×2a×|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2a}$=|x₁-x₂|=k²+4a=（a-t）²-1+4a=a²+（4-2t）a+t²-1=（a+2-t）²+4t-5，
∵k²=（a-t）²-1＞0，∴a＞t+1或a＜t-1，
∴a=t-2时，$\frac{2S}{|MQ|}$取得最小值4t-5．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．