Question

 

设函数f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

（I）   当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;

（II）  当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;

（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x

即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分

当时;;当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分

（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分

令g(x)=x-2lnx,则 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;┉┉┉11分

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。┉14分