Question

【题目】已知函数，且存在，使得，设，，，．

（Ⅰ）证明单调递增；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）记，其前项和为，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出，然后通过证明恒成立即可；

（Ⅱ）利用数学归纳法，即首先验证时不等式是否成立，然后假设当时不等式成立，再通过验证时不等式是否成立使问题得证；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，先放缩再结合等比数列的求和公式即可证明．

（Ⅰ）由函数，则，

所以是上的单调递增函数．

（Ⅱ）因为，即．

又因为是单调递增函数，可得，即．

又由，，

综上可得．

用数学归纳法证明如下：

①当时，上面已证明成立．

②假设当时，有，

则当时，由是单调递增函数，可得，

所以，

由①②知对一切都有．

（Ⅲ）因为．

由（Ⅱ）知，，则，，

所以，

因为，所以，

所以．

综上可得．