Question

求证：
（1）

1-sin2α

2 sin(α- π 4 )

=sinα-cosα；
（2）已知

1-tanα

2+tanα

=1，求证3sin2α=-4cos2α．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由同角三角函数基本关系化简可得左边等于右边，从而原式成立．
（2）由同角三角函数基本关系化简即可，可用分析法，直接法两种方法证明．

解答： 解：（1）左边=

(sinα-cosα)2

2 (sinα• 2 2 -cosα• 2 2 )

=

(sinα-cosα)2

sinα-cosα

=sinα-cosα=右边
所以原式成立．
（2）解法1（分析法）：因为

1-tanα

2+tanα

=1，所以1+2tanα=0，从而2sinα+cosα=0，
另一方面，要证3sin2α=-4cos2α，只要证2sinαcosα=-4（cos²α-sin²α），
即证2sin²α-3sinαcosα-2cos²α=0，
即证（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0，
由2sinα+cosα=0可得（2siα+cosα）（sinα-2cosα）=0成立，于是命题成立．
解法2（直接证明）由

1-tanα

2+tanα

=1知tanα=

1

2

所以cos2α≠0．
因为

3sin2α

-4cos2α

=

6sinαcosα

-4(cos2α-sin2α)

=-

3tanα

2(1-tan2α)

=

3×(- 1 2 )

2×(1- 1 4 )

=1
所以3sin2α=-4cos2α．

点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的应用，属于基本知识的考查．