Question

设数列{a_n}、{b_n}满足：a_n=（-1）ⁿ（n²+1），b_n=a_n+a_n+1，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前100项和S₁₀₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用条件求出a₁的值；
（2）利用条件直接求解数列{b_n}的通项公式；
（3）利用a_n=（-1）ⁿ（n²+1），b_n=a_n+a_n+1，n∈N^*．推出数列{a_n}的前100项和S₁₀₀的表达式，利用等差数列求和即可．

解答： 解：（1）∵a_n=（-1）ⁿ（n²+1），
∴a1=(-1)1(12+1)=-2…（2分）
（2）∵a_n=（-1）ⁿ（n²+1），b_n=a_n+a_n+1，n∈N^*．
∴bn=(-1)n(n2+1)+(-1)n+1[(n+1)2+1]…（3分）
=（-1）ⁿ⁺¹[（n+1）²+1-n²-1]…（5分），
=（-1）ⁿ⁺¹（2n+1）…（6分）
（3）由已知，S₁₀₀=b₁+b₃+b₅+…b₉₉…（8分）
=3+7+11+…+199…（10分）
=

(3+199)×50

2

…（13分），
=5050…（14分）

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．